Jak się pisze?
Poprawny jest zapis łączny: "jak najszybsze".
Przykłady:
Miałem w planach jak najszybsze uporanie się z tym problemem.
Poprosiłem ich o jak najszybsze skontaktowanie się ze mną.
Poprosiłem go o jak najszybsze przybycie, ponieważ liczyła się każda minuta.