Jak się pisze?
Poprawny jest zapis "zdążyłem" z "ż".
Przykłady:
Bardzo się cieszę, że jednak zdążyłem na ten autobus.
Niestety nie zdążyłem na pierwszą lekcję, ale i tak cieszę się, że udało mi się dotrzeć przynajmniej na tę.
Zdążyłem w samą porę. Gdybym spóźnił się choć o minutę, musiałbym jechać kolejnym pociągiem.